Makalah Matematika Wajib Semester 2

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar  Belakang

Matematika sebagai ilmu sains yang dapat berbentuk ilmu terapan jika diimplementasikan pada cabang ilmu lain. Relasi adalah salah satu bagian dari ilmu matematika diskrit yang menarik untuk dipelajari. Dimana relasi merupakan suatu hubungan.

Dalam kehidupan sehari-hari pasti ada suatu hubungan yang terjadi. Misal “sekumpulan anak-anak kecil yang sedang bermain dan setiap anak memegang balon berbagai warna”. Dari ini dapat diberikan pengertian bahwa anak-anak kecil yang mempunyai hubungan dengan balon berbagai warna yang mereka pegang. Sebelumnya telah dipelajari materi tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan benda atau obyek yang dididefinisikan dengan jelas. Disini terdapat dua himpunan, yang pertama adlah himpunan anak-anak kecil dan yang kedua adalah himpunan balon berbagai warna.

Pengertian dasar tentang hubungan antar objek diskrit adalah relasi. Relasi digunakan untuk menyatakan suatu hubungan antara dua himpunan. Relasi merupakan teori dasar dalam pembahasan matematika diskrit. Maka perlu untuk membahas relasi. Baik dari definisi relasi, representasi relasi dan sifat-sifat relasi biner.

Oleh karena relasi  tersebut menjadi salah satu dasar dalam pembahasan matematika diskrit, maka penulis berkeinginan untuk membuat makalah yang berjudul “Relasi” yang diharapkan dapat menambah pengetahuan mengenai relasi serta dapat mengenal relasi secara lebih jelas lagi.

B.     Rumusan  Masalah

Dari latar belakang di atas, maka rumusan masalah yang didapat yaitu :

1.      Apa pengertian relasi?

2.      Apa saja metode untuk menyatakan relasi?

3.      Apa saja sifat-sifat relasi?

4.      Apa saja komposisi relasi?

5.      Apa pengertian fungsi?

6.      Apa komponen dalam fungsi?

7.      Bagaimana penulisan fungsi?

8.      Apa saja jenis-jenis fungsi?

9.      Apa saja sifat-sifat fungsi?

C.    Tujuan

Dari rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan makalah ini yaitu :

1.      Mengetahui pengertian relasi

2.      Mengetahui metode-metode untuk menyatakan relasi

3.      Mengetahui sifat-sifat relasi

4.      Mengetahui komposisi relasi

5.      Mengetahui pengertian fungsi

6.      Mengetahui komponen dalam fungsi

7.      Mengetahui cara penulisan fungsi

8.      Mengetahui jenis-jenis fungsi

9.      Mengetahui sifat-sifat fungsi

BAB II

PEMBAHASAN

1.       RELASI

A.     Pengertian Relasi

       Relasi adalah hubungan antara dua elemen dua himpunan. Relasi juga dikatakan sebagai suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

Contoh :

Ada tiga anak mengatakan makanan kesukaan nya yaitu : Anis menyukai Bakso, Rina menyukai Sate dan Diko menyukai Nasi Padang.

Dari pernyataan di atas terdapat dua himpunan yaitu :

A= himpunan anak {Anis,Rina,Diko}

B= himpunan makanan {Bakso. Sate, Nasi Padang}

Relasi antara anggota himpunan A ke himpunan B yang mungkin adalah menyukai atau menyenangi.

Dari contoh di atas, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Sementara itu menyukai disebut Relasi. Himpunan semua anggota kodomain disebut Range (daerah hasil).

B.     Metode Menyatakan Relasi

Relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu:

1)        Dengan himpunan pasangan berurutan

2)        Dengan diagram panah

3)        Dengan diagram Cartesius

4)     Dengan Tabel

Contoh :

A = { Buyung, Doni, Vita, Putri}   dan B = { IPS, Kesenian, Keterampilan, Olahraga, Matematika, IPA, Bahasa Inggris} dan relasi yang menghubungkan antara himpunan A dan hipunan B adalah “pelajaran yang disukai”

Keterangan : Buyung suka IPS dan Kesenian, Doni suka Keterampilan dan Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.

Jawaban dengan tiga metode :

1)      Dengan himpunan pasangan berurutan

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.

{(Buyung, IPS), (Buyung, Kesenian), (Doni, Keterampilan), (Doni, Olahraga), (Vita, IPA), (Putri, Matematika), (Putri, Bahasa Inggris)}

2)     Dengan Diagram Panah

Langkah-langkah menyatakan relasi dengan diagram panah :

a.    Membuat dua lingkaran atau elips

b.   Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B

c.    X dan Y dihubungkan dengan anak panah

d.   Arah anak panah menunjukkan arah relasi

e.    Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

  

3)      Dengan diagram Cartesius

Pada diagram Cartesius diperlukan dua salip sumbu yaitu : sumbu mendatar (horizontal) dan sumbu tegak (vertical) yang berpotongan tegak lurus.

a.       X= A diletakkan pada sumbu mendatar

b.      Y= B diletakkan pada sumbu tegak

c.       Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah Noktah (titik) yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan x,y.

4)        Tabel

Nama	Mata Pelajaran
Buyung	IPS
Buyung	Kesenian
Doni	Keterampilan
Doni	Olahraga
Vita	IPA
Putri	Matematika
Putri	Bahasa Inggris

C.       Sifat-Sifat Relasi

a.      Relasi Refleksif ( Bercermin)

Relasi disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap x anggota semesta-nya, x berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi R refleksif jika dan hanya jika xRx.

Contoh :

Jika diketahui A= {1,2,3,4} dan relasi R= {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} Pada A, maka R x∈A adalah refleksif, karena untuk setiap x∈A terdapat (x,x) pada R.
Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut:

R1= {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}

R2= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

Relasi-relasi tersebut merupakan relasi refleksif karena memiliki elemen (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4).

b.      Relasi Irrefleksif

Relasi R pada A disebut Irrefleksif (anti refleksif) jika dan hanya jika setiap elemen di dalam tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi, irrefleksif jika dan hanya jika xRx.
Contoh :

Diketahui himpunan B= {a,b,c} dan relasi R= {(a,c), (b,c), (b,a)}. Relasi R adalah irrefleksif, karena (a,a), (b,b), dan (c,c) bukan elemen.

Diketahui A= {1,2,3,4} dan relasi R= {(2,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}. Relasi R merupakan relasi irrefleksif, karena tidak terdapat elemen (x,x), dimana x∈A.

c.       Relasi Nonrefleksif

Relasi R pada A disebut nonrefleksif  jika dan hanya jika ada sekurang-kurangnya satu elemen di dalam A  yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri.

Contoh :

Perhatikan relasi pada himpunan A= {1,2,3,}

R= {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}

Relasi tersebut merupakan relasi non refleksif, karena ada (1,2) dan (2,3).

d.      Relasi Simetri

Relasi R disebut simetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku jika a berelasi R dengan b maka b juga berelasi dengan a.

Secara simbolik: aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,a), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}.2. Ani menyukai Budi, Budi menyukai Ani {(Ani,Budi),(Budi,Ani)}

e.       Relasi Asimetri

Relasi R disebut asimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b maka b tidak berelasi R dengan a.

Secara simbolik: R asimetri pada S jhj (∀a,b∈S) aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,c), (c,a) } dalam himpunan { a,b,c }.

f.       Relasi Nonsimetri

Relasi R disebut nonsimetri pada S jika dan hanya jika ada dua anggota a dan b dari S sedemikian hingga berlaku: a berelasi R dengan b tetapi b tidak berelasi R dengan a.
Perhatikan bahwa nonsimetri adalah negasi/ingkaran dari simetri.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}

g.      Relasi Antisimetri

Relasi R disebut antisimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b dan b berelasi R dengan a maka a=b.

Contoh:
1.  A = keluarga himpunan.

Relasi “ himpunan bagian” adalah relasi yang antisimetris pada A, karena  untuk setiap dua himpunan x dan y, jika x y dan y x, maka x = y.

2.   Relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” dalam himpunan bilangan real. Jadi, relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” bersifat anti simetri, karena jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.

3.    Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

h.      Relasi Transitif

R adalah relasi pada A. R disebut relasi Transitif pada A jika dan hanya jika setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R, dan (b,c)∈R maka (a,c)∈R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a berelasi dengan c).

Contoh:
1. Relasi R = {(a,b), (b,c), (a,c), (c,c) } dalam himpunan { a,b,c }.

i.        Relasi Nontransitif

R adalah relasi pada A. R disebut relasi nontransitif pada A jika dan hanya jika ada tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) sedemikian hingga (a,b)∈R , dan (b,c)∈R dan (a,c)∉R (ada tiga anggota a,b,c dari A sedemikian hingga a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c dan a tidak berelasi dengan c).

Contoh:
R = {(1,2),(2,3),(3,4)} dalam himpunan { 1,2,3,4}

j.        Relasi Intransitif

R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi intransitif pada A jika dan hanya jika setiap tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R dan (b,c)∈R maka (a,c)∉R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c).

Misal E = {1,2,3}, R = {(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(5,7)}

Relasi di atas intransitif karena :

(1,2)∈R dan (2,3)∈R, tetapi (1,3)∉R

(1,2)∈R dan (2,5)∈R, tetapi (1,5)∉R

(2,3)∈R dan (3,4)∈R, tetapi (2,4)∉R

(2,5)∈R dan (5,7)∈R, tetapi (2,7)∉R

D.      Komposisi Relasi

·           Misalkan :

        R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B

        T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

·           Komposisi R dan S, dinotasikan dengan T ο R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :

       T ο R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan  (b, c) ∈S }

·           Contoh komposisi relasi

Ø Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u}

Ø Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :

        R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}

Ø Relasi dari B ke C didefisikan oleh :

       T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Ø Maka komposisi relasi R dan T adalah

        T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

2.  FUNGSI

A.  Pengertian Fungsi

Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi. Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuksetiap x anggota A memiliki tepat satu pasangan, y, anggota himpunan B

Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A. Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.

Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk :  f : A → B

B.  Domain, Kodomain, Dan Range

·           f : A → B

·           A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f.

·           Misalkan f(a) = b,

maka b dinamakan bayangan (image) dari a,

dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

·           Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.

C.  Penulisan Fungsi

1)        Himpunan pasangan terurut.

·           Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :

f = {(2, 4), (3, 9)}

2)        Formula pengisian nilai (assignment)

·           f(x) = x2 + 10,

·           f(x) = 5x

D.  Jenis-jenis Fungsi

1.    Fungsi konstan (fungsi tetap)

     Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}. Sehingga, gambar grafiknya.

2.         Fungsi linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Perhatikan contoh berikut.
Diketahui f(x) = 2x + 3, gambar grafiknya

3. Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.
Perhatikan contoh fungsi kuadrat  berikut.

Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3, gambar grafiknya.

  

4. Fungsi identitas

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar lebih memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh berikut ini.
Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).
b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian:
a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f(3).
f(x) = x
f(–2) = –2
f(0) = 0
f(1) = – 1
f(3) = 3

b. Gambar grafik.

  

E.       Sifat-sifat Fungsi

1)        Fungsi Injektif/satu-satu

·           Fungsi satu-satu

·           Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

2)        Fungsi Surjektif/ onto

·           Fungsi kepada

·           Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.

·           Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan range-nya (semua kodomain adalah peta dari domain).

3)        Fungsi Bijektif/ korespondensi satu-satu

·           Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sembarangb dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B.

·           Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif.

                                                                                                                 

BAB III

PENUTUP

A.   Kesimpulan

Relasi adalah sebuah hubungan antara dua himpunan. Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan terurut yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

Untuk menyatakan relasi ada tiga metode, yaitu : dengan himpunan pasangan berurutan, dengan diagram panah, diagram rumus.

B.   Saran

Dari makalah ini, saran penulis untuk menyatakan relasi dapat menggunakan metode yang paling mudah antara ketiganya atau menggunakan tiga metode tersebut .